13. На доске сначала было написано число 198. Стас играет в арифметическую игру. Он может либо умножить написанное число на 3, либо вычесть из него 7. Полученное число Стас записывает на доске вместо прежнего. Может ли Стас, действуя таким образом, в конце концов получить на доске число 200? Если да — покажите, как. Если нет — объясните, почему.

Решение:

Давайте проанализируем, как меняется чётность числа при выполнении Стасом операций:

• Умножение на 3:
  • Чётное число * 3 = Чётное число (например, 10 * 3 = 30).
  • Нечётное число * 3 = Нечётное число (например, 11 * 3 = 33).
• Вычитание 7:
  • Чётное число - 7 = Нечётное число (например, 10 - 7 = 3).
  • Нечётное число - 7 = Чётное число (например, 11 - 7 = 4).

Исходное число: 198 (чётное).

Целевое число: 200 (чётное).

Рассмотрим возможные последовательности операций, начиная с 198:

• Операция 1: Умножение на 3
• 198 * 3 = 594 (чётное)
• Далее:
• 594 * 3 = 1782 (чётное)
• 594 - 7 = 587 (нечётное)
• Операция 1: Вычитание 7
• 198 - 7 = 191 (нечётное)
• Далее:
• 191 * 3 = 573 (нечётное)
• 191 - 7 = 184 (чётное)

Заметим, что если мы начинаем с чётного числа:

• Умножение на 3 сохраняет чётность (чётное * 3 = чётное).
• Вычитание 7 превращает чётное в нечётное (чётное - 7 = нечётное).

Чтобы получить чётное число 200, нам нужно, чтобы последняя операция была умножением на 3 (если предыдущее число было чётным) или вычитанием 7 (если предыдущее число было нечётным).

Если последняя операция — умножение на 3, то предыдущее число должно быть 200 / 3, что не является целым числом. Значит, последняя операция не может быть умножением на 3.

Если последняя операция — вычитание 7, то предыдущее число должно быть 200 + 7 = 207.

Теперь проверим, можем ли мы получить 207 из 198:

• 198 (чётное) -> 198 - 7 = 191 (нечётное)
• 191 (нечётное) -> 191 * 3 = 573 (нечётное)
• 191 (нечётное) -> 191 - 7 = 184 (чётное)

Если мы начнем с 198, то после одной операции вычитания 7 мы получим 191 (нечётное). Любая последующая операция сохранит нечётность (нечётное * 3 = нечётное, нечётное - 7 = чётное).

Если мы начнем с 198, то после одной операции умножения на 3 мы получим 594 (чётное). Любая последующая операция:

• 594 * 3 = 1782 (чётное)
• 594 - 7 = 587 (нечётное)

Вывод:

Мы видим, что любое чётное число, умноженное на 3, даёт чётное число. Любое чётное число, из которого вычли 7, даёт нечётное число. Любое нечётное число, умноженное на 3, даёт нечётное число. Любое нечётное число, из которого вычли 7, даёт чётное число.

Начальное число 198 — чётное. Целевое число 200 — чётное.

Чтобы перейти от чётного к чётному, нам нужно, чтобы либо обе операции были умножением на 3 (что невозможно, т.к. 198 * 3 * 3 = 1782 ≠ 200), либо чтобы была проведена одна операция вычитания 7 и одна операция умножения на 3, но в таком порядке, чтобы результат был чётным. Это означает, что после вычитания 7 (превращающего чётное в нечётное) необходимо выполнить операцию, которая сделает число снова чётным. Такой операцией является вычитание 7 из нечётного числа.

Рассмотрим последовательность: Чётное (198) -> Вычитание 7 -> Нечётное (191) -> Вычитание 7 -> Чётное (184).

Другая возможная последовательность, ведущая к чётному числу:

Чётное (198) -> Умножение на 3 -> Чётное (594) -> Вычитание 7 -> Нечётное (587).

Мы хотим получить 200. Можно ли получить 200, если предыдущее число было 207 (200+7)?

198 -> 198-7=191 (нечетное)

191 -> 191*3=573 (нечетное)

191 -> 191-7=184 (четное)

198 -> 198*3=594 (четное)

594 -> 594-7=587 (нечетное)

594 -> 594*3=1782 (четное)

Нет, Стас не может получить число 200. Любое число, полученное Стасом, будет иметь вид $$198 \times 3^a - 7 \times 3^b$$ или $$198 \times 3^a \times 3 - 7 \times 3^b$$ и т.д. Заметим, что каждое число, полученное в результате операции, либо увеличивается, либо уменьшается. Однако, важнее всего чётность.

Начнём с 198 (чётное).

1. $$198 \times 3 = 594$$ (чётное)

2. $$198 - 7 = 191$$ (нечётное)

Теперь рассмотрим числа, полученные из 594:

1. $$594 \times 3 = 1782$$ (чётное)

2. $$594 - 7 = 587$$ (нечётное)

Рассмотрим числа, полученные из 191:

1. $$191 \times 3 = 573$$ (нечётное)

2. $$191 - 7 = 184$$ (чётное)

Мы видим, что если мы начинаем с чётного числа:

• Умножение на 3 сохраняет чётность.
• Вычитание 7 превращает чётное в нечётное.

Чтобы получить 200 (чётное) из 198 (чётное), нам нужно, чтобы в конечном итоге мы получили чётное число. Это может произойти:

• Если последняя операция — умножение на 3, то предыдущее число должно быть $$200/3$$, что невозможно.
• Если последняя операция — вычитание 7, то предыдущее число должно быть $$200+7 = 207$$.

Можем ли мы получить 207? Рассмотрим все возможные варианты:

198 -> 594 (Ч)

198 -> 191 (Н)

594 -> 1782 (Ч)

594 -> 587 (Н)

191 -> 573 (Н)

191 -> 184 (Ч)

Ни одно из полученных чисел не позволяет нам получить 207. Число 207 является нечётным. Чтобы получить нечётное число, последней операцией должно быть умножение на 3 (если предыдущее было нечётным) или вычитание 7 (если предыдущее было чётным).

Если мы хотим получить 207, и последняя операция была вычитание 7, то предыдущее число должно быть 214. Но 214 не получается из 198.

Если мы хотим получить 207, и последняя операция была умножение на 3, то предыдущее число должно быть $$207/3 = 69$$. Но 69 не получается из 198.

Объяснение:

Начальное число 198 — чётное. Операция «умножить на 3» всегда сохраняет чётность (чётное × 3 = чётное, нечётное × 3 = нечётное). Операция «вычесть 7» меняет чётность (чётное - 7 = нечётное, нечётное - 7 = чётное).

Чтобы из чётного числа (198) получить другое чётное число (200), нужно, чтобы общее количество операций, меняющих чётность (вычитание 7), было чётным (0, 2, 4...).

Однако, если выполнить операцию «вычесть 7» один раз, мы получим нечётное число (191). Дальнейшие операции с нечётным числом:

• Нечётное × 3 = Нечётное
• Нечётное - 7 = Чётное

Если Стас выполнит одну операцию «вычесть 7», он получит 191. Чтобы получить 200, ему нужно будет выполнить еще одну операцию, которая даст чётное число. Это может быть только «вычесть 7» из некоторого нечётного числа.

Рассмотрим последовательность:

198 (Ч) → 198 - 7 = 191 (Н)

Теперь нам нужно получить 200 из 191. Для этого нужно, чтобы последняя операция была «вычесть 7», чтобы получить чётное число. Тогда предыдущее число должно быть 207. Но мы не можем получить 207 из 191:

• 191 × 3 = 573
• 191 - 7 = 184

Таким образом, мы никогда не сможем получить 207, чтобы потом вычесть 7 и получить 200.

Ответ: Нет, не может.