13. На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка P так, что SA=2AP. Точки M и N — середины ребер BC и AC соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q. a) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Решение:

Дано:

Правильный тетраэдр SABC. SA=2AP. M, N — середины BC, AC. PN ∩ SC = Q.

а) Доказать, что плоскость QMN ⊥ SC.

Доказательство:

1. В тетраэдре SABC все ребра равны, например, пусть длина ребра равна \( a \).
2. Так как M — середина BC, то AM — медиана и высота равнобедренного треугольника ABC (так как ABC — равносторонний).
3. Аналогично, AN — медиана и высота равнобедренного треугольника ABC.
4. M и N — середины BC и AC. PN — средняя линия треугольника ASC. Отсюда PN || SC.
5. Так как PN || SC, то плоскость QMN содержит прямую PN, которая параллельна SC.
6. Рассмотрим плоскость SBC. Так как тетраэдр правильный, плоскость SBC перпендикулярна ребру SA (если бы вершина была S, а основание ABC).
7. Рассмотрим плоскость SAC. Так как тетраэдр правильный, плоскость SAC перпендикулярна ребру SB.
8. Поскольку PN || SC, то и любая плоскость, содержащая PN, будет параллельна SC.
9. Если плоскость содержит прямую, параллельную другой прямой, то эти две прямые скрещиваются или параллельны.
10. В данном случае, так как PN || SC, то плоскость QMN, содержащая PN, будет пересекать SC в точке Q.
11. Рассмотрим векторное произведение. Вектор нормали к плоскости QMN должен быть перпендикулярен вектору SC.
12. Так как PN || SC, то вектор PN параллелен вектору SC.
13. Вектор нормали к плоскости QMN перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости.
14. Пусть \( в \) — вектор нормали к плоскости QMN. Тогда \( в ⊥ PN \) и \( в ⊥ MN \).
15. Так как PN || SC, то \( в ⊥ SC \).
16. Следовательно, плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

б) Найти объем пирамиды SQMN, если ребра равны 4.

Решение:

1. Длина ребра тетраэдра \( a = 4 \).
2. SA = 2AP, значит, AP = SA/2 = 4/2 = 2.
3. N — середина AC, AN = NC = 4/2 = 2.
4. M — середина BC, BM = MC = 4/2 = 2.
5. В треугольнике ASC, PN — средняя линия, параллельная SC. Q — точка пересечения PN и SC. Если PN || SC, то Q должна быть точкой, где PN