13. На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA=2AP. Точки М и N – середины ребер BC и AC соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q. а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Решение:

а) Доказательство перпендикулярности плоскости QMN ребру SC.

1. В правильном тетраэдре SABC все грани — равносторонние треугольники, и все рёбра равны. Пусть длина ребра равна \( a \).
2. Точки M и N — середины рёбер BC и AC соответственно. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии, \( MN \parallel AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2} \).
3. Так как тетраэдр правильный, \( AB \perp SC \) и \( BC \perp SA \) (это неверно, в правильном тетраэдре ребра не перпендикулярны друг другу, кроме случаев, когда они являются высотами граней или диагоналями).
4. Рассмотрим треугольник SAC. SN — медиана, так как N — середина AC. SA = SC = \( a \).
5. Рассмотрим треугольник SBC. SM — медиана, так как M — середина BC. SB = SC = \( a \).
6. Прямая PN проходит через точку P на продолжении SA, где SA = 2AP. Это означает, что \( AP = \frac{a}{2} \).
7. Рассмотрим плоскость ABC. Угол между ребром SC и плоскостью ABC равен углу между SC и его проекцией на эту плоскость.
8. В правильном тетраэдре все двугранные углы равны.
9. Переосмыслим условие: