13. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город В?

Решение:

Чтобы найти количество путей из города А в город К, проходящих через город В, будем считать количество путей до каждого города, начиная с А.

1. Из А:
   • В: 1 путь (А → В)
   • Б: 1 путь (А → Б)
   • Г: 1 путь (А → Г)
2. Из В:
   • Д: 1 путь (А → В → Д)
   • К: 1 путь (А → В → К)
   • Ж: 1 путь (А → В → Ж)
3. Из Б:
   • В: 1 путь (А → Б → В)
4. Из Г:
   • В: 1 путь (А → Г → В)
   • Д: 1 путь (А → Г → Д)
5. Из Д:
   • К: 1 + 1 = 2 пути (А → В → Д → К; А → Г → Д → К)
   • Е: 1 путь (А → В → Д → Е; А → Г → Д → Е)
6. Из Е:
   • К: 2 пути (А → В → Д → Е → К; А → Г → Д → Е → К)
7. Из Ж:
   • К: 1 путь (А → В → Ж → К)
8. Из В (суммарно): Количество путей до В из А = 1 (А → В) + 1 (А → Б → В) + 1 (А → Г → В) = 3 пути.
9. Пути до К через В:
   • Пути, проходящие через В и далее идущие к К:
   • А → В → К: 1 путь
   • А → В → Д → К: 1 путь
   • А → В → Д → Е → К: 1 путь
   • А → В → Ж → К: 1 путь
   • А → Г → В → К: 1 путь
   • А → Г → В → Д → К: 1 путь
   • А → Г → В → Д → Е → К: 1 путь
   • А → Б → В → К: 1 путь
   • А → Б → В → Д → К: 1 путь
   • А → Б → В → Д → Е → К: 1 путь

   Пересчет путей до К, проходящих через В:

   Пути из А в В: 3 (А→В; А→Б→В; А→Г→В).

   Из В в К:

   • Пути из В в К без промежуточных: 1 (В→К)
   • Пути из В в К через Д: 1 (В→Д→К)
   • Пути из В в К через Е: 1 (В→Д→Е→К)
   • Пути из В в К через Ж: 1 (В→Ж→К)

   Всего путей из В в К = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 пути.

   Общее количество путей из А в К через В = (Пути из А в В) × (Пути из В в К) = 3 × 4 = 12 путей.

Ответ: 12