13. Найди промежутки возрастания и убывания функции y = -x^2 + 4x + 1

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдём её производную.

1. Найдём производную функции \( y = -x^2 + 4x + 1 \):
   \( y' = ( -x^2 + 4x + 1 )' = -2x + 4 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -2x + 4 = 0 \)
   \( -2x = -4 \)
   \( x = 2 \)
3. Определим знаки производной на интервалах \( (-\infty; 2) \) и \( (2; +\infty) \).
• Возьмём пробную точку из интервала \( (-\infty; 2) \), например, \( x = 0 \):
  \( y'(0) = -2(0) + 4 = 4 \). Так как \( y'(0) > 0 \), на этом интервале функция возрастает.
• Возьмём пробную точку из интервала \( (2; +\infty) \), например, \( x = 3 \):
  \( y'(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 \). Так как \( y'(3) < 0 \), на этом интервале функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале \( (-\infty; 2) \) и убывает на интервале \( (2; +\infty) \).