13) Найдите \(\angle\) ABC трапеции.

Решение:

В трапеции ABCD AB || CD. Углы, прилежащие к боковым сторонам, могут быть разными. По условию, \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). Боковые стороны AB и CD не равны. \( AB \neq CD \).

Нам нужно найти \(\angle\) ABC. Для этого проведём высоту из вершины B к основанию AD. Пусть эта высота будет BH. Тогда BH || CD, так как обе перпендикулярны AD. Так как \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то BC перпендикулярно CD. Если мы предположим, что BC - это боковая сторона, а CD - основание, то \(\angle\) BCD = 90\(\degree\).

В задании указано, что \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), и \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). Это означает, что CD не может быть параллельно AB, так как сумма углов при одной боковой стороне (BC) должна быть 180\(\degree\). Следовательно, AB || CD.

Из условия \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), это значит, что BC является высотой трапеции. В таком случае, \(\angle\) ABC = 90\(\degree\).

Однако, на чертеже показано, что \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). Если \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\), если BC - боковая сторона, а AB и CD - основания. Но если AB || CD, то \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\) или \(\angle\) BAD + \(\angle\) ADC = 180\(\degree\).

Если BC - высота, то \(\angle\) ABC = 90\(\degree\). Но тогда \(\angle\) BCD = 90\(\degree\). Это значит, что AB || CD. Тогда \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\), что не так. \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\), когда BC — боковая сторона, а AB и CD — основания, и BC — секущая.

В условии задачи сказано, что это трапеция. Обозначения на рисунке: AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны. \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). Дуги на BC и AB обозначают, что BC = AB. Это равнобедренная трапеция с одним прямым углом.

Проведём высоту BH из B на AD. В прямоугольном треугольнике ABH, \(\angle\) BAH + \(\angle\) ABH = 90\(\degree\).

Если \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), и AB || CD, то \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\). Значит \(\angle\) ABC = 180\(\degree\) - 90\(\degree\) = 90\(\degree\).

Однако, на рисунке указано, что BC = AB. Это означает, что трапеция не просто прямоугольная, а равнобедренная с равенством боковой стороны и одного из оснований. Это невозможно.

Повторно смотрим на рисунок. Дуги на AB и BC означают, что AB = BC. \(\angle\) BCD = 90\(\degree\). \(\angle\) ADC = 55\(\degree\).

Если \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), и AB || CD, то \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCD = 180\(\degree\). Следовательно, \(\angle\) ABC = 180\(\degree\) - 90\(\degree\) = 90\(\degree\).

Но тогда AB || CD, и BC — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Это значит, что трапеция прямоугольная. Если трапеция прямоугольная, то \(\angle\) BCD = 90\(\degree\) и \(\angle\) ABC = 90\(\degree\). В этом случае \(\angle\) ADC = 55\(\degree\), и \(\angle\) BAD = 180 - 55 = 125\(\degree\). Но тогда AB и CD не равны BC.

Смотрим на обозначения: параллельные стороны — AB и CD. \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). Это прямоугольная трапеция, где BC - высота. Тогда \(\angle\) ABC = 90\(\degree\).

Однако, на рисунке обозначено, что \( AB = BC \). Если \( AB = BC \), то \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA = 90\(\degree\). Но \(\angle\) BCA - это часть \(\angle\) BCD. Если \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то \(\angle\) BCA < 90\(\degree\).

Рассмотрим случай, когда AB и CD - основания. \(\angle\) BCD = 90\(\degree\). \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). \( AB=BC \).

Проведём высоту BH из B на CD. В прямоугольном \(\triangle\) BCD, \(\angle\) CBD = 90\(\degree\) - \(\angle\) BDC = 90\(\degree\) - 55\(\degree\) = 35\(\degree\).

В трапеции ABCD, AB || CD. \(\angle\) BCD = 90\(\degree\). \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). \( AB = BC \).

Так как \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то BC перпендикулярно CD. Если AB || CD, то BC перпендикулярно AB. Значит, \(\angle\) ABC = 90\(\degree\).

Но тогда \( AB = BC \) и \(\angle\) ABC = 90\(\degree\). Это возможно, если \(\triangle\) ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA = 45\(\degree\).

Но \(\angle\) BCA - это часть \(\angle\) BCD. Если \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то \(\angle\) BCA = 45\(\degree\). Это возможно.

Итак, если \(\angle\) ABC = 90\(\degree\), и \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то AB || CD. \(\angle\) ADC = 55\(\degree\). \(\angle\) BAD = 180 - 55 = 125\(\degree\).

В условии \( AB=BC \). В прямоугольной трапеции \( BC \) — высота. Если \( BC = AB \), то \(\triangle\) ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда \(\angle\) BAC = \(\angle\) BCA = 45\(\degree\).

Так как \(\angle\) BCD = 90\(\degree\), то \(\angle\) BCA = 45\(\degree\), а \(\angle\) ACD = 90\(\degree\) - 45\(\degree\) = 45\(\degree\).

В \(\triangle\) ACD, \(\angle\) ADC = 55\(\degree\), \(\angle\) ACD = 45\(\degree\). Тогда \(\angle\) CAD = 180\(\degree\) - 55\(\degree\) - 45\(\degree\) = 80\(\degree\).

\(\angle\) BAD = \(\angle\) BAC + \(\angle\) CAD = 45\(\degree\) + 80\(\degree\) = 125\(\degree\).

Проверим, что AB || CD. Сумма углов \(\angle\) BAD + \(\angle\) ADC = 125\(\degree\) + 55\(\degree\) = 180\(\degree\). Значит, AB || CD.

Таким образом, \(\angle\) ABC = 90\(\degree\).

Ответ: 90