13. Найдите значение выражения \( \frac{6}{3+\sqrt{7}} + 3\sqrt{7} \).

Решение:

1. Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе первой дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 3-\sqrt{7} \):
2. \( \frac{6}{3+\sqrt{7}} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} \)
3. Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе:
4. \( \frac{6(3-\sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{2} \)
5. Сократим дробь: \( 3(3-\sqrt{7}) = 9 - 3\sqrt{7} \)
6. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
7. \( (9 - 3\sqrt{7}) + 3\sqrt{7} \)
8. Слагаемые \( -3\sqrt{7} \) и \( +3\sqrt{7} \) взаимно уничтожаются.
9. \( 9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 9 \)

Ответ: 9