13. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

• Обозначим углы прямоугольного треугольника как \(\alpha\), \(\beta\) и \(90^{\circ}\).
• Пусть \(\alpha = 60^{\circ}\). Тогда второй острый угол \(\beta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).
• Меньший катет лежит напротив меньшего угла, то есть напротив угла \(30^{\circ}\). Обозначим его как \(a\).
• Гипотенузу обозначим как \(c\).
• По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см: \(c + a = 42\).
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы: \(a = \frac{c}{2}\).
• Подставим это в уравнение: \(c + \frac{c}{2} = 42\).
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 42 \implies \frac{3c}{2} = 42\).
• Найдем \(c\): \(3c = 42 \cdot 2 \implies 3c = 84 \implies c = \frac{84}{3} = 28\).
• Значит, гипотенуза равна 28 см.
• Проверим: если \(c = 28\) см, то \(a = \frac{28}{2} = 14\) см. Сумма \(c + a = 28 + 14 = 42\) см. Условие выполнено.

Ответ: 28 см