13.Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник, \( \angle C = 90° \).

Пусть \( \angle B = 60° \), тогда \( \angle A = 180° - 90° - 60° = 30° \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть \( AC = b \) — катет, лежащий против угла \( \angle B = 60° \), \( BC = a \) — катет, лежащий против угла \( \angle A = 30° \), \( AB = c \) — гипотенуза.

Тогда \( a = \frac{c}{2} \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:

\( c + a = 42 \)

Подставим \( a = \frac{c}{2} \) в уравнение:

\( c + \frac{c}{2} = 42 \)

\( \frac{3c}{2} = 42 \)

\( 3c = 84 \)

\( c = \frac{84}{3} = 28 \) см.

Тогда \( a = \frac{28}{2} = 14 \) см.

Проверка: \( 28 + 14 = 42 \) см.

Ответ: Гипотенуза равна 28 см.