13. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 1, AC = 5.

Обозначим центр окружности через O, а её радиус — через r. Так как O лежит на отрезке AC и окружность проходит через C, то \(r=OC=5-AO\).

Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому треугольник AOB прямоугольный, и по теореме Пифагора:

\[AO^2+OB^2=AB^2.\]

Пусть \(AO=x\). Тогда \(OB=r=5-x\), поэтому:

\[x^2+(5-x)^2=1.\]

\[x^2+25-10x+x^2=1,\]

\[2x^2-10x+24=0,\]

\[x^2-5x+12=0.\]

В этой записи использована неверная конфигурация: из перпендикулярности следует не \(AO^2+OB^2=AB^2\), поскольку угол AOB не является прямым. Используем координаты.

Положим \(A=(0,0)\), \(O=(x,0)\), \(C=(5,0)\), а \(B=(u,v)\). Условие касания даёт \(OB\perp AB\), поэтому:

\[u(u-x)+v^2=0.\]

Так как \(AB=1\), имеем \(u^2+v^2=1\). Вычитая, получаем \(xu=1\). Далее:

\[OB^2=(u-x)^2+v^2=u^2+v^2-2xu+x^2=x^2-1.\]

Но \(OB=OC=5-x\), значит:

\[(5-x)^2=x^2-1.\]

\[25-10x+x^2=x^2-1,\qquad 10x=26,\qquad x=2.6.\]

Тогда радиус окружности:

\[r=5-2.6=2.4.\]

Диаметр:

\[d=2r=2\cdot2.4=4.8.\]

Ответ: 4,8.