Решение:
Слитное написание наречий:
- 1) (В) НАЧАЛЕ — предлог с существительным. (ПО) ЛЕТНЕМУ — наречие, пишется через дефис.
- 2) (НА) У ГРО — предлог с существительным. (ПО) ДАЧНОМУ — наречие, пишется через дефис.
- 3) (В) ПЕРВЫЕ — предлог с числительным. (ПО) ДОЛГУ — наречие, пишется слитно.
- 4) (ДАВНЫМ) ДАВНО — повтор, наречие, пишется через дефис. (ПО) СТАРИННОМУ — наречие, пишется слитно.
- 5) (С) НАЧАЛА — предлог с существительным. (Сразу же — частица 'же', пишется раздельно).
Наречие «ПО ДОЛГУ» пишется слитно, если его нельзя заменить синонимом без «по». Здесь можно заменить на «долго», но оно не имеет значения «по длительности», поэтому пишется слитно. В данном контексте «по долгу» означает «долго», поэтому можно написать слитно. В варианте 4 «по старинному» пишется слитно, так как это наречие.
Ответ: ПО ДОЛГУ, ПО СТАРИННОМУ.