13 P_{\triangle MSN} - ?

Решение:

• Задача предполагает вычисление периметра треугольника MSN.
• Из рисунка видно, что точки K и P являются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
• Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, гласят, что отрезки касательных равны.
• Таким образом, SK = SP = 4.
• Аналогично, MK = MP (хотя эти отрезки не обозначены, это следует из свойств касательных).
• Также, SN = NP и MS = MK.
• Из рисунка имеем:
• SK = SP = 4
• MK = 8 (по условию, отрезок MK обозначен как 8)
• NP = 8 (по условию, отрезок NP обозначен как 8)
• Исходя из свойств касательных, если MK = 8, то MS = 8.
• Если NP = 8, то SN = 8.
• Теперь мы можем найти стороны треугольника MSN:
• MS = MK + KS = 8 + 4 = 12
• SN = SP + PN = 4 + 8 = 12
• MN (основание) = MP + PN. Нам нужно найти MP.
• Поскольку MK = MP, то MP = 8.
• MN = 8 + 8 = 16
• Периметр треугольника MSN равен сумме длин его сторон:
• P_{\triangle MSN} = MS + SN + MN = 12 + 12 + 16 = 40

Ответ: 40