13 P_{\triangle MSN} - ? [Image of a triangle MSN with a circle inscribed. Sides are labeled with lengths. Side MK=8, SK=4, SP=4, PN=8. The circle is tangent to sides MK, SN, NM at points K, P, and some point on NM respectively.]

Анализ задачи:

• Нам дан треугольник MSN, в который вписана окружность.
• Точки касания окружности со сторонами MS и SN обозначены как K и P соответственно.
• Длины отрезков известны: MK = 8, SK = 4, SP = 4, PN = 8.
• Нас просят найти периметр треугольника MSN (обозначенный как P_ΔMSN).

Решение:

1. Свойства касательных: Из точки, вне окружности, проведены две касательные к окружности. Отрезки касательных от точки до точек касания равны.
2. Применение свойства:
   
   • От вершины M к окружности проведены касательные MK и касательная к стороне NM. Следовательно, длина отрезка от M до точки касания на NM равна MK = 8.
   • От вершины S к окружности проведены касательные SK и SP. По условию, SK = 4 и SP = 4. Это подтверждает свойство касательных.
   • От вершины N к окружности проведены касательные NP и касательная к стороне NM. Следовательно, длина отрезка от N до точки касания на NM равна NP = 8.
3. Периметр треугольника: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Стороны треугольника MSN состоят из отрезков:
• Сторона MS = MK + SK = 8 + 4 = 12
• Сторона SN = SP + PN = 4 + 8 = 12
• Сторона NM состоит из двух отрезков касательных от вершин M и N к точке касания на стороне NM. Длина этих отрезков равна MK = 8 и NP = 8. Следовательно, NM = 8 + 8 = 16.
4. Вычисление периметра:
• P_ΔMSN = MS + SN + NM
• P_ΔMSN = 12 + 12 + 16
• P_ΔMSN = 40

Ответ: 40