13. Поход на рыбалку. Алексей Алексеевич отправился на рыбалку и оценивает свои перспективы следующим образом: - один шанс из восьми за то, что он поймает только сазана - один к двадцати за то, что ему попадётся только карп - один к сорока за то, что выловит и сазана, и карпа. Найди вероятность того, что не видать рыбаку. 1. Ни одного сазана. 2. Ни одного карпа. 3. Ни сазана, ни карпа.

Решение:

Запишем данные из условия в виде вероятностей:

• Вероятность поймать только сазана: \( P(\text{только сазан}) = \frac{1}{8} \)
• Вероятность поймать только карпа: \( P(\text{только карп}) = \frac{1}{20} \)
• Вероятность поймать и сазана, и карпа: \( P(\text{сазан и карп}) = \frac{1}{40} \)

Обозначим события:

• A — поймать сазана, B — поймать карпа.

Из условия задачи имеем:

• \( P(A \text{ и не } B) = \frac{1}{8} \)
• \( P(\text{не } A \text{ и } B) = \frac{1}{20} \)
• \( P(A \text{ и } B) = \frac{1}{40} \)

1. Вероятность не поймать ни одного сазана (событие \( \text{не } A \))

Вероятность не поймать сазана равна сумме вероятностей событий: \( \text{не } A \text{ и } B \) и \( \text{не } A \text{ и не } B \).

Сначала найдем вероятность не поймать ни сазана, ни карпа \( P(\text{не } A \text{ и не } B) \).

Общая вероятность всех исходов равна 1. Исход может быть одним из четырех:

1. Поймал и сазана, и карпа: \( P(A \text{ и } B) = \frac{1}{40} \)
2. Поймал только сазана: \( P(A \text{ и не } B) = \frac{1}{8} = \frac{5}{40} \)
3. Поймал только карпа: \( P(\text{не } A \text{ и } B) = \frac{1}{20} = \frac{2}{40} \)
4. Не поймал ни сазана, ни карпа: \( P(\text{не } A \text{ и не } B) \)

Сумма этих вероятностей равна 1:

\[ \frac{1}{40} + \frac{5}{40} + \frac{2}{40} + P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 \]\[ \frac{8}{40} + P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 \]\[ \frac{1}{5} + P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 \]\[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = \frac{32}{40} \]

Теперь найдем вероятность не поймать ни одного сазана. Это сумма вероятностей поймать только карпа и не поймать никого:

\[ P(\text{не } A) = P(\text{не } A \text{ и } B) + P(\text{не } A \text{ и не } B) = \frac{2}{40} + \frac{32}{40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20} \]

2. Вероятность не поймать ни одного карпа (событие \( \text{не } B \))

Вероятность не поймать карпа равна сумме вероятностей событий: \( A \text{ и не } B \) и \( \text{не } A \text{ и не } B \).

\[ P(\text{не } B) = P(A \text{ и не } B) + P(\text{не } A \text{ и не } B) = \frac{5}{40} + \frac{32}{40} = \frac{37}{40} \]

3. Вероятность не поймать ни сазана, ни карпа (событие \( \text{не } A \text{ и не } B \))

Эта вероятность была найдена ранее:

\[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \]

Ответ: 1. \( \frac{17}{20} \) 2. \( \frac{37}{40} \) 3. \( \frac{4}{5} \).