13. Постройте график функции y = 1/3 x^3 - x^2 - 3x

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \) найдём её производную, точки экстремума и точки перегиба.

1. Находим производную:

\( y' = \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3 \)

2. Находим точки экстремума:

Приравниваем производную к нулю:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Определяем знаки производной на интервалах:

• При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y' = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -1 < x < 3 \), например \( x = 0 \): \( y' = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 3 \), например \( x = 4 \): \( y' = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \) (функция возрастает).

Следовательно, в точке \( x = -1 \) — максимум, в точке \( x = 3 \) — минимум.

3. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

\( y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)

\( y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) = \frac{1}{3} · 27 - 9 - 9 = 9 - 9 - 9 = -9 \)

4. Находим точки перегиба (вторая производная):

\( y'' = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2 \)

Приравниваем вторую производную к нулю:

\( 2x - 2 = 0 \) \( \implies \) \( x = 1 \)

Определяем знаки второй производной:

• При \( x < 1 \), например \( x = 0 \): \( y'' = 2(0) - 2 = -2 < 0 \) (функция выпукла вверх).
• При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y'' = 2(2) - 2 = 2 > 0 \) (функция выпукла вниз).

Следовательно, в точке \( x = 1 \) — точка перегиба.

5. Вычисляем значение функции в точке перегиба:

\( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 = \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3} \)

6. Находим точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при \( x=0 \)): \( y = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 - 3(0) = 0 \). Точка (0, 0).

С осью OX (при \( y=0 \)): \( \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x = 0 \) \( \implies \) \( x(\frac{1}{3}x^2 - x - 3) = 0 \)

Один корень \( x = 0 \). Решаем \( \frac{1}{3}x^2 - x - 3 = 0 \) \( \implies \) \( x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 · (-9) = 9 + 36 = 45 \)

\( x = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \)

\( x \approx \frac{3 \pm 3 · 2.236}{2} \) \( \implies \) \( x \approx \frac{3 \pm 6.708}{2} \)

\( x_1 \approx \frac{9.708}{2} \approx 4.85 \)

\( x_2 \approx \frac{-3.708}{2} \approx -1.85 \)

7. Построение графика:

Используя найденные точки: максимум в \( (-1, \frac{5}{3}) \), минимум в \( (3, -9) \), точку перегиба в \( (1, -\frac{11}{3}) \), пересечение с осями в \( (0, 0) \), \( (\approx 4.85, 0) \), \( (\approx -1.85, 0) \).

Ответ: график функции построен с учетом точек экстремума, точек перегиба и точек пересечения с осями координат.