13. Постройте график функции y = 1/3 x^3 - x^2 + x

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \) найдём её производную:

\[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \]

Производная \( y' = (x-1)^2 \) всегда неотрицательна \( y' \geq 0 \). Это означает, что функция является возрастающей на всей своей области определения.

Точки экстремума:

\[ y' = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 \]

При \( x = 1 \) производная равна нулю, но знак производной слева и справа от \( x=1 \) не меняется (остается положительным), поэтому точка \( x=1 \) является точкой перегиба, а не экстремума.

Найдем значение функции в точке \( x=1 \):

\[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} \]

Точка перегиба: \( (1, \frac{1}{3}) \).

Проверим вторую производную:

\[ y'' = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2 \]

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба:

\[ y'' = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \]

Вторая производная меняет знак при \( x=1 \) (слева отрицательна, справа положительна), значит, \( x=1 \) — точка перегиба.

Для построения графика найдем несколько точек:

• При \( x = 0 \): \( y = 0 \)
• При \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{3} \)
• При \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 + 2 = \frac{8}{3} - 4 + 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} \)
• При \( x = 3 \): \( y = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 3 = 9 - 9 + 3 = 3 \)
• При \( x = -1 \): \( y = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = -\frac{1}{3} - 1 - 1 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} \)

Ответ: график функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \) — возрастающая кубическая парабола с точкой перегиба в \( (1, \frac{1}{3}) \).