13. Постройте график функции y = 1/3 * x^3 - x^2 + x

Построение графика функции

Для построения графика функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \) найдём её производную, точки экстремума и точки перегиба.

1. Найдём производную:
   \( y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \right) = x^2 - 2x + 1 \)
2. Найдём критические точки (где \( y' = 0 \)):
   \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)
   \( (x - 1)^2 = 0 \)
   \( x = 1 \)
3. Определим интервалы возрастания и убывания:
   При \( x < 1 \), \( y' = (x - 1)^2 > 0 \) — функция возрастает.
   При \( x > 1 \), \( y' = (x - 1)^2 > 0 \) — функция возрастает.
   Точка \( x = 1 \) является точкой перегиба, а не экстремума, так как производная не меняет знак.
4. Найдём вторую производную:
   \( y'' = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x + 1) = 2x - 2 \)
5. Найдём точки перегиба (где \( y'' = 0 \)):
   \( 2x - 2 = 0 \)
   \( x = 1 \)
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости:
   При \( x < 1 \), \( y'' = 2x - 2 < 0 \) — функция выпукла вверх.
   При \( x > 1 \), \( y'' = 2x - 2 > 0 \) — функция вогнута вниз.
7. Вычислим значения функции в ключевых точках:
   При \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} \)

Ответ: График функции построен. Точка перегиба находится в (1, 1/3). Функция возрастает на всей числовой оси.