13. Постройте график кусочно-заданной функции y = { x+4, если-5≤х≤-2; -х, если-2<x≤2; -2, если2 <x≤5. Укажите: а) Область определения этой функции; б) Наибольшее и наименьшее значения этой функции и значения аргумента, при которых достигаются эти значения; в) Множество значений функции; г) Координаты точек пересечения с осями координат.

Решение:

Функция задана следующими условиями:

• \( y = x + 4 \) при \( -5 \le x \le -2 \)
• \( y = -x \) при \( -2 < x \le 2 \)
• \( y = -2 \) при \( 2 < x \le 5 \)

Построение графика:

1. Для \( y = x + 4 \) при \( -5 \le x \le -2 \):

• При \( x = -5 \): \( y = -5 + 4 = -1 \). Точка: \( (-5, -1) \).
• При \( x = -2 \): \( y = -2 + 4 = 2 \). Точка: \( (-2, 2) \).
• Это отрезок прямой, соединяющий эти две точки.

2. Для \( y = -x \) при \( -2 < x \le 2 \):

• При \( x \) близком к -2 (например, \( x = -1.99 \)): \( y = -(-1.99) = 1.99 \). Точка приближается к \( (-2, 2) \).
• При \( x = 2 \): \( y = -2 \). Точка: \( (2, -2) \).
• Это отрезок прямой, проходящий через начало координат.

3. Для \( y = -2 \) при \( 2 < x \le 5 \):

• При \( x \) близком к 2 (например, \( x = 2.01 \)): \( y = -2 \). Точка приближается к \( (2, -2) \).
• При \( x = 5 \): \( y = -2 \). Точка: \( (5, -2) \).
• Это горизонтальный отрезок.

Постройте график, соединив эти отрезки.

а) Область определения функции:

Функция определена для всех \( x \) из заданных интервалов: \( [-5; -2] \cup (-2; 2] \cup (2; 5] \). Это объединение интервалов составляет \( [-5; 5] \).

Ответ: \( D(f) = [-5; 5] \).

б) Наибольшее и наименьшее значения этой функции и значения аргумента, при которых достигаются эти значения:

Рассмотрим значения \( y \) на каждом интервале:

• На \( [-5; -2] \): \( y = x + 4 \). Наименьшее значение при \( x = -5 \) \( y = -1 \). Наибольшее значение при \( x = -2 \) \( y = 2 \).
• На \( (-2; 2] \): \( y = -x \). При \( x \) приближающемся к -2, \( y \) приближается к 2. При \( x = 2 \) \( y = -2 \). Значения \( y \) находятся в интервале \( [-2, 2) \).
• На \( (2; 5] \): \( y = -2 \). Значение константно.

Объединяя эти интервалы, видим, что наибольшее значение функции равно 2 (достигается при \( x = -2 \)). Наименьшее значение функции равно -2 (достигается при \( x = 2 \) и на интервале \( (2; 5] \)).

Ответ: Наибольшее значение \( y_{max} = 2 \) при \( x = -2 \). Наименьшее значение \( y_{min} = -2 \) при \( x \in [2; 5] \).

в) Множество значений функции:

Объединяем диапазоны значений \( y \) из каждого интервала:

• \( [-1, 2] \)
• \( [-2, 2) \)
• \( \{-2\} \)

Объединение этих множеств: \( [-2, 2] \).

Ответ: \( E(f) = [-2; 2] \).

г) Координаты точек пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x = 0):

При \( x = 0 \), функция \( y = -x \) (так как \( -2 < 0 \le 2 \)).

\( y = -0 = 0 \).

Точка пересечения с Oy: \( (0, 0) \).

Пересечение с осью Ox (y = 0):

1. Для \( y = x + 4 \) при \( -5 \le x \le -2 \):

\( x + 4 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -4 \). Эта точка \( (-4, 0) \) принадлежит интервалу \( [-5; -2] \).

2. Для \( y = -x \) при \( -2 < x \le 2 \):

\( -x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 0 \). Эта точка \( (0, 0) \) принадлежит интервалу \( (-2; 2] \).

3. Для \( y = -2 \) при \( 2 < x \le 5 \):

\( -2 = 0 \) — это невозможно. Нет точек пересечения с Ox на этом интервале.

Ответ: Точки пересечения с осями: \( (0, 0) \), \( (-4, 0) \).