13. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 1\(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{3}\). Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны соотношениями:

• \( R = 2r \)
• Сторона равностороннего треугольника \( a \) связана с радиусом вписанной окружности \( r \) формулой: \( a = 2r\sqrt{3} \)
• Сторона равностороннего треугольника \( a \) связана с радиусом описанной окружности \( R \) формулой: \( a = R\sqrt{3} \)

Дано: \( r = 1\frac{1}{3}\sqrt{3} = \frac{4}{3}\sqrt{3} \).

Найдём сторону \( a \) по формуле \( a = 2r\sqrt{3} \):

\[ a = 2 \cdot \left( \frac{4}{3}\sqrt{3} \right) \cdot \sqrt{3} = \frac{8}{3} \cdot 3 = 8 \]

Ответ: 8.