13. Решите неравенство: \( \frac{\log_{0.5}(1-3x)}{2 · 2^{4x}-1} \ge 0 \)

Решение:

Для решения неравенства необходимо рассмотреть два случая, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.

ОДЗ (Область допустимых значений):

1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:
• \( 1 - 3x > 0 \)
• \( -3x > -1 \)
• \( x < \frac{1}{3} \)
2. Знаменатель не должен быть равен нулю:
• \( 2 · 2^{4x} - 1
  e 0 \)
• \( 2 · 2^{4x}
  e 1 \)
• \( 2^{4x}
  e \frac{1}{2} \)
• \( 2^{4x}
  e 2^{-1} \)
• \( 4x
  e -1 \)
• \( x
  e -\frac{1}{4} \)
3. Основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, значит, при взятии логарифма знак неравенства меняется.

Случай 1: Числитель ≥ 0 и Знаменатель > 0

1. Числитель ≥ 0:
• \( \log_{0.5}(1-3x) ≥ 0 \)
• \( 1 - 3x ≥ (0.5)^0 \) (Так как основание < 1, знак неравенства меняется)
• \( 1 - 3x ≥ 1 \)
• \( -3x ≥ 0 \)
• \( x ≤ 0 \)
2. Знаменатель > 0:
• \( 2 · 2^{4x} - 1 > 0 \)
• \( 2 · 2^{4x} > 1 \)
• \( 2^{4x} > \frac{1}{2} \)
• \( 2^{4x} > 2^{-1} \)
• \( 4x > -1 \)
• \( x > -\frac{1}{4} \)
3. Объединяем условия для Случая 1:
• \( x ≤ 0 \) и \( x > -\frac{1}{4} \) и \( x < \frac{1}{3} \)
• \( -\frac{1}{4} < x ≤ 0 \)

Случай 2: Числитель ≤ 0 и Знаменатель < 0

1. Числитель ≤ 0:
• \( \log_{0.5}(1-3x) ≤ 0 \)
• \( 1 - 3x ≤ (0.5)^0 \) (Так как основание < 1, знак неравенства меняется)
• \( 1 - 3x ≤ 1 \)
• \( -3x ≤ 0 \)
• \( x ≥ 0 \)
2. Знаменатель < 0:
• \( 2 · 2^{4x} - 1 < 0 \)
• \( 2 · 2^{4x} < 1 \)
• \( 2^{4x} < \frac{1}{2} \)
• \( 2^{4x} < 2^{-1} \)
• \( 4x < -1 \)
• \( x < -\frac{1}{4} \)
3. Объединяем условия для Случая 2:
• \( x ≥ 0 \) и \( x < -\frac{1}{4} \) и \( x < \frac{1}{3} \)
• Это условие не имеет решений, так как \( x ≥ 0 \) и \( x < -\frac{1}{4} \) противоречат друг другу.

Объединяем решения из обоих случаев:

Единственное решение получается из Случая 1.

Ответ: \( \left(-\frac{1}{4}; 0\right] \).