13 Решите уравнение х²-4x + 4 = (2x-7)².

Решение:

• Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение. Сначала раскроем скобки справа:
• \[ x^2 - 4x + 4 = (2x)^2 - 2(2x)(7) + 7^2 \]
• \[ x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49 \]
• Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения Ax² + Bx + C = 0:
• \[ 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4 = 0 \]
• \[ 3x^2 - 24x + 45 = 0 \]
• Для упрощения можно разделить все уравнение на 3:
• \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]
• Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант или теорему Виета. Воспользуемся дискриминантом:
• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-8)^2 - 4(1)(15) \]
• \[ D = 64 - 60 \]
• \[ D = 4 \]
• Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня.
• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
• Проверка:
• При x = 5:
• \[ 5^2 - 4(5) + 4 = 25 - 20 + 4 = 9 \]
• \[ (2(5) - 7)^2 = (10 - 7)^2 = 3^2 = 9 \]
• Левая часть равна правой.
• При x = 3:
• \[ 3^2 - 4(3) + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 \]
• \[ (2(3) - 7)^2 = (6 - 7)^2 = (-1)^2 = 1 \]
• Левая часть равна правой.

Ответ: 3; 5