13 Решите уравнение x² - 4x + 4 = (2x - 7)². Решение.

Решение:

• Данное уравнение: \( x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2 \)
• Сначала раскроем скобки справа: \( (2x - 7)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49 \)
• Теперь уравнение выглядит так: \( x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49 \)
• Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):
• \( 0 = 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4 \)
• \( 0 = 3x^2 - 24x + 45 \)
• Упростим уравнение, разделив все члены на 3:
• \( x^2 - 8x + 15 = 0 \)
• Теперь решим это квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
• Здесь \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 15 \).
• \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 \)
• \( D = 64 - 60 \)
• \( D = 4 \)
• Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
• Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
• \( x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
• \( x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Ответ: x = 3, x = 5