13. Сечение параллелепипеда и параллельность плоскостей. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AA₁ и CC₁. Через M и N проведена плоскость, параллельная диагонали BD основания. Опишите вид сечения и докажите, что его боковые стороны параллельны соответствующим рёбрам параллелепипеда.

Условие о параллельности боковых сторон соответствующим рёбрам в общем случае неверно: при заданных данных сечение горизонтально и его стороны параллельны диагоналям основания, а не обязательно рёбрам параллелепипеда.

Обозначим через P и Q середины BB₁ и DD₁. Поскольку все боковые рёбра параллелепипеда равны и параллельны, плоскость, проходящая через середины AA₁ и CC₁ и параллельная основанию, содержит также P и Q. Действительно, плоскость проходит через M и N параллельно BD; при этом MN ∥ AC. Диагонали AC и BD пересекаются, поэтому направления AC и BD задают плоскость основания. Следовательно, плоскость сечения параллельна основанию, а пересечения с боковыми рёбрами находятся на одной и той же половине их длины.

Сечение — параллелограмм MPNQ. Его противоположные стороны MP и NQ параллельны диагонали BD, а стороны PN и QM — диагонали AC. Таким образом, утверждение о параллельности сторон сечения рёбрам не следует из условия; верное заключение — стороны сечения параллельны диагоналям основания.

Ответ: сечение MPNQ — параллелограмм; его стороны параллельны диагоналям AC и BD основания. Параллельность этих сторон рёбрам в общем случае не выполняется.