13) Solve the problem.

Решение:

Нам дан круг с центром O. Точки A, B, C, D лежат на окружности.

Известно, что \( \angle ABC = 63^{\circ} \) и дуга AD равна \( 130^{\circ} \).

Угол \( ∠ BCD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу BD. Угол \( ∠ BAD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу BD.

Центральный угол \( ∠ AOD \) равен дуге AD, то есть \( ∠ AOD = 130^{\circ} \).

Угол \( ∠ ABD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AD. Следовательно, \( ∠ ABD = \frac{1}{2} ∠ AOD = \frac{1}{2} ∡ 130^{\circ} = 65^{\circ} \).

Угол \( ∠ ABC = 63^{\circ} \). Мы можем найти \( ∠ CBD \) как разность \( ∠ ABC \) и \( ∠ ABD \), но это не так. Угол \( ∠ ABC \) вписанный и опирается на дугу AC. Значит, дуга AC = \( 2 ∠ ABC = 2 ∡ 63^{\circ} = 126^{\circ} \).

Сумма всех дуг окружности равна \( 360^{\circ} \). Дуга AB + дуга BC + дуга CD + дуга DA = \( 360^{\circ} \).

У нас есть дуга AD = \( 130^{\circ} \) и дуга AC = \( 126^{\circ} \). Дуга AC = дуга AB + дуга BC. Нет, дуга AC - это дуга, на которую опирается угол ABC. Так как точки A, B, C, D расположены последовательно, дуга AC = дуга AB + дуга BC.

Угол \( ∠ ABC = 63^{\circ} \) опирается на дугу ADC. Дуга ADC = дуга AD + дуга DC = \( 2 ∡ 63^{\circ} = 126^{\circ} \). Это неверно. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол \( ∠ ABC \) опирается на дугу AC. Значит, дуга AC = \( 2 ∡ 63^{\circ} = 126^{\circ} \).

Мы ищем \( x = ∠ ODC \). Это угол в треугольнике \( ∠ ODC \). \( OD = OC \) (радиусы), значит, \( ∠ ODC = ∠ OCD \). Треугольник \( ∠ ODC \) равнобедренный.

Нам нужно найти угол \( ∠ DOC \). Угол \( ∠ DOC \) - центральный угол, опирающийся на дугу DC. Нам нужно найти дугу DC.

Сумма дуг AB + BC + CD + DA = \( 360^{\circ} \).

Угол \( ∠ ADC \) — вписанный, опирается на дугу ABC. Дуга ABC = дуга AB + дуга BC. Угол \( ∠ ABC = 63^{\circ} \) опирается на дугу AC, значит дуга AC = \( 126^{\circ} \).

Угол \( ∠ BCD \) опирается на дугу BAD. Дуга BAD = дуга BA + дуга AD. Угол \( ∠ BAD \) опирается на дугу BCD. Дуга BCD = дуга BC + дуга CD.

Центральный угол \( ∠ AOC \) = дуга AC = \( 126^{\circ} \).

Центральный угол \( ∠ AOD \) = дуга AD = \( 130^{\circ} \).

Центральный угол \( ∠ COD \) = дуга CD.

Угол \( ∠ CAD \) опирается на дугу CD. \( ∠ CAD = ∠ CBD = ∠ ABD \). Угол \( ∠ ABD \) опирается на дугу AD. \( ∠ ABD = ∠ ACD = ∠ ACD \).

Угол \( ∠ ABC = 63^{\circ} \) опирается на дугу AC. Дуга AC = \( 2 ∡ 63^{\circ} = 126^{\circ} \).

Угол \( ∠ ADC \) опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC. \( ∠ ABC = 63^{\circ} \) опирается на дугу AC = \( 126^{\circ} \).

Угол \( ∠ CAD \) равен \( x \) и опирается на дугу CD. \( ∠ CBD \) тоже опирается на дугу CD. \( x = ∠ CBD \).

Дуга AD = \( 130^{\circ} \). Значит, \( ∠ ABD = ∠ ACD = ∡ 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Дуга AC = \( 126^{\circ} \). Значит, \( ∠ ABC \) опирается на дугу AC. \( ∠ ABC = 63^{\circ} \).

Дуга AB + Дуга BC = Дуга AC = \( 126^{\circ} \).

Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга DA = \( 360^{\circ} \).

\( 126^{\circ} + \text{Дуга CD} + 130^{\circ} = 360^{\circ} \).

Дуга CD = \( 360^{\circ} - 126^{\circ} - 130^{\circ} = 360^{\circ} - 256^{\circ} = 104^{\circ} \).

Угол \( x \) - это \( ∠ ODC \). Треугольник \( ∠ ODC \) равнобедренный, \( OD=OC \).

Центральный угол \( ∠ DOC \) равен дуге CD, то есть \( ∠ DOC = 104^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике \( ∠ ODC \) равна \( 180^{\circ} \).

\( ∠ ODC + ∠ OCD + ∠ DOC = 180^{\circ} \).

\( x + x + 104^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2x = 180^{\circ} - 104^{\circ} \).

\( 2x = 76^{\circ} \).

\( x = 38^{\circ} \).

Ответ: \( 38^{\circ} \).