13. Сторона основания правильной восьмиугольной пирамиды равна 14, боковое ребро равно 25. Найди площадь боковой поверхности этой пирамиды. Введи ответ Готово

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \times l \), где \( P \) — периметр основания, а \( l \) — апофема (высота боковой грани).

В основании правильной восьмиугольной пирамиды лежит правильный восьмиугольник. Сторона основания равна 14.

Периметр основания \( P = 8 \times 14 = 112 \).

Чтобы найти апофему \( l \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, боковым ребром и радиусом вписанной окружности в основание (или высотой равнобедренной трапеции — грани пирамиды).

В правильном восьмиугольнике радиус вписанной окружности \( r \) (который является апофемой) можно найти, если знать сторону \( a = 14 \). Формула для радиуса вписанной окружности правильного n-угольника: \( r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} \).

Для восьмиугольника \( n=8 \): \( r = \frac{14}{2 \tan(\frac{\pi}{8})} = \frac{7}{\tan(22.5^\circ)} \).

Значение \( \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1 \).

Значит, \( r = \frac{7}{\sqrt{2} - 1} = 7(\sqrt{2} + 1) \).

Теперь найдем апофему \( l \) пирамиды, используя прямоугольный треугольник: \( l^2 + r^2 = 25^2 \) (где 25 — боковое ребро).

\( l^2 = 25^2 - (7(\sqrt{2} + 1))^2 \)

\( l^2 = 625 - 49(2 + 2\sqrt{2} + 1) \)

\( l^2 = 625 - 49(3 + 2\sqrt{2}) \)

\( l^2 = 625 - 147 - 98\sqrt{2} \)

\( l^2 = 478 - 98\sqrt{2} \).

\( l = \sqrt{478 - 98\sqrt{2}} \).

Это сложный путь. Давайте проверим, не требуется ли апофема грани, а не пирамиды. В условии сказано: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \times l \), где \( l \) — апофема боковой грани (высота трапеции).

В основании боковой грани лежит сторона основания \( a = 14 \). Боковое ребро равно 25.

Высота боковой грани (апофема \( l \)) равна: \( l = \sqrt{25^2 - (\frac{14}{2})^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} \)

\( l = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 112 \times 24 \)

\( S_{бок} = 56 \times 24 \)

\( 56 \times 24 = 56 \times (20 + 4) = 1120 + 224 = 1344 \).

Ответ: 1344