13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁ равны 8, 6 и 21 соответственно. Чему равен синус угла между прямыми CD и A₁C₁?

Зададим координаты: A(0, 0, 0), B(8, 0, 0), D(0, 6, 0), A₁(0, 0, 21). Тогда C(8, 6, 0), C₁(8, 6, 21).

Направляющий вектор прямой CD: \(\overrightarrow{CD}=(-8,0,0)\). Направляющий вектор прямой A₁C₁: \(\overrightarrow{A_1C_1}=(8,6,0)\).

Синус угла между прямыми найдём по формуле \(\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{A_1C_1}|}{|\overrightarrow{CD}|\,|\overrightarrow{A_1C_1}|}\). Эквивалентно, поскольку угол между этими направлениями имеет косинус по модулю \(8/10\), синус равен \(6/10\).

Ответ: \(\frac{3}{5}\).