13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 4√6, 2 и 14 соответственно. Чему равен синус угла между прямыми CD и A₁C₁?

Введём координаты: пусть A=(0,0,0), AB направлен вдоль оси x, AD — вдоль оси y, AA₁ — вдоль оси z. Тогда C=(4√6, 2, 0), D=(0, 2, 0), A₁=(0, 0, 14), C₁=(4√6, 2, 14).

Направляющий вектор прямой CD: (4√6, 0, 0). Направляющий вектор прямой A₁C₁: (4√6, 2, 0). Поэтому для угла φ между прямыми

cos φ = |(4√6,0,0)·(4√6,2,0)| / (4√6 · √((4√6)²+2²)) = 96/(4√6 · 10) = √6/2.

Следовательно, sin φ = √(1 − cos²φ) = 1/2.

Ответ: 1/2.