13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 5, 4 и 3 соответственно. Чему равна радианная мера угла ABD₁?

Рассмотрим треугольник ABD₁. Его стороны:

\(AB=5\), \(AD₁=\sqrt{AD^2+AA₁^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\).

Диагональ основания:

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\).

В треугольнике \(ABD₁\):

\(BD₁=\sqrt{AB^2+AD^2+AA₁^2}=\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}=5\sqrt2\).

По теореме косинусов для угла \(ABD₁\):

\[\cos\angle ABD₁=\frac{AB^2+BD₁^2-AD₁^2}{2\cdot AB\cdot BD₁}=\frac{25+50-25}{2\cdot5\cdot5\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.\]

Следовательно, \(\angle ABD₁=\frac\pi4\).

Ответ: \(\frac\pi4\).