13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 7, 3√39 и 14 соответственно. Чему равен косинус угла между прямыми BC и B₁D₁?

Введём координаты: пусть \(A(0,0,0)\), \(B(7,0,0)\), \(D(0,3\sqrt{39},0)\), \(A_1(0,0,14)\).

Тогда направляющие векторы можно взять такими:

\(\vec{BC}=(0,3\sqrt{39},0)\), \(\vec{B_1D_1}=(-7,3\sqrt{39},0)\).

Используем формулу косинуса угла между векторами:

\[\cos\alpha=\frac{|\vec{BC}\cdot\vec{B_1D_1}|}{|\vec{BC}|\,|\vec{B_1D_1}|}.\]

Скалярное произведение:

\[\vec{BC}\cdot\vec{B_1D_1}=(3\sqrt{39})^2=351.\]

Длины векторов:

\[|\vec{BC}|=3\sqrt{39},\qquad |\vec{B_1D_1}|=\sqrt{7^2+(3\sqrt{39})^2}=\sqrt{49+351}=20.\]

Следовательно,

\[\cos\alpha=\frac{351}{3\sqrt{39}\cdot20}=\frac{3\sqrt{39}}{20}.\]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{39}}{20}\).