13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 9, √19 и 7 соответственно. Чему равен синус угла между прямыми B₁C₁ и BD?

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(9,0,0)\), \(D(0,\sqrt{19},0)\), \(A_1(0,0,7)\).

Тогда \(B_1(9,0,7)\), \(C_1(9,\sqrt{19},7)\).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{B_1C_1}=(0,\sqrt{19},0)\),
\(\overrightarrow{BD}=(-9,\sqrt{19},0)\).

Их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{B_1C_1}\cdot\overrightarrow{BD}=19.\]

Длины векторов:

\[|\overrightarrow{B_1C_1}|=\sqrt{19},\qquad |\overrightarrow{BD}|=\sqrt{9^2+(\sqrt{19})^2}=10.\]

Следовательно, \(\cos\alpha=\dfrac{19}{10\sqrt{19}}=\dfrac{\sqrt{19}}{10}\).

Тогда

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{19}{100}}=\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac{9}{10}.\]

Ответ: \(\frac{9}{10}\).