13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно √5, 4 и 3. Найдите градусную меру угла AB₁D.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(\sqrt5,0,0)\), \(D(0,4,0)\), \(A_1(0,0,3)\). Тогда \(B_1(\sqrt5,0,3)\).

Рассмотрим векторы:

\[\overrightarrow{B_1A}=(-\sqrt5,0,-3),\qquad \overrightarrow{B_1D}=(-\sqrt5,4,-3).\]

Их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{B_1A}\cdot\overrightarrow{B_1D}=5+9=14.\]

Длины векторов:

\[|\overrightarrow{B_1A}|=\sqrt{5+9}=\sqrt{14},\qquad |\overrightarrow{B_1D}|=\sqrt{5+16+9}=\sqrt{30}.\]

По формуле скалярного произведения:

\[\cos\angle AB_1D=\frac{14}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{30}}=\frac{7}{\sqrt{105}}.\]

Следовательно,

\[\angle AB_1D=\arccos\frac{7}{\sqrt{105}}\approx46{,}9^\circ.\]

Ответ: \(\arccos\frac{7}{\sqrt{105}}\approx46{,}9^\circ\).