13. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 одинаковых боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна произведению площади одной боковой грани \( S_{гр} \) на число граней (6):

\[ S_{бок} = 6 \cdot S_{гр} \]

2. Рассмотрим одну боковую грань — равнобедренный треугольник с основанием \( a = 16 \) (сторона основания пирамиды) и боковыми рёбрами \( l = 17 \).

3. Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно найти его высоту (апофему пирамиды \( h_a \)). Проведём высоту из вершины треугольника к основанию. Она разделит основание пополам. Получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой \( l = 17 \) и катетами \( \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( h_a \).

По теореме Пифагора:

\[ h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2 \]

\[ h_a^2 + 8^2 = 17^2 \]

\[ h_a^2 + 64 = 289 \]

\[ h_a^2 = 289 - 64 = 225 \]

\[ h_a = \sqrt{225} = 15 \]

4. Площадь одной боковой грани (треугольника):

\[ S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \]

5. Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[ S_{бок} = 6 \cdot S_{гр} = 6 \cdot 120 = 720 \]

Ответ: 720.