13. Тип 13 № 102 а) Решите уравнение sin2x = sinx. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [10; 13).

Решение:

а) Решение уравнения

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
• \[ \sin^2 x - \sin x = 0 \]
2. Вынесем общий множитель (sin x) за скобки:
• \[ \sin x (\sin x - 1) = 0 \]
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x - 1 = 0 \]
4. Решим каждое из полученных уравнений:
• Первое уравнение:
  \[ \sin x = 0 \]
  Это частный случай, корни:
  \[ x = \pi k \], где $$k$$ — целое число.
• Второе уравнение:
  \[ \sin x = 1 \]
  Это также частный случай, корни:
  \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \], где $$n$$ — целое число.

б) Поиск корней на отрезке [10; 13)

1. Для корней $$x = \pi k$$:
• Нам нужно найти такие целые $$k$$, чтобы $$10 \le \pi k < 13$$.
• Разделим на $$\pi$$ (приблизительно 3.14159):
• \[ \frac{10}{\pi} \le k < \frac{13}{\pi} \]
• \[ 3.18 \le k < 4.14 \]
• Единственное целое число $$k$$ в этом интервале — это $$k=4$$.
• Подставляем $$k=4$$ в формулу корней:
  \[ x = \pi \cdot 4 = 4\pi \]
• Проверим, попадает ли $$4\pi$$ в отрезок: $$4\pi \approx 4 \times 3.14159 = 12.56636$$. Это значение находится в интервале $$[10; 13)$$.
2. Для корней $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$:
• Нам нужно найти такие целые $$n$$, чтобы $$10 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n < 13$$.
• Вынесем $$2\pi$$ за скобки (или приведем к общему знаменателю):
• \[ \frac{\pi (1 + 4n)}{2} \]
• \[ 10 \le \frac{\pi (1 + 4n)}{2} < 13 \]
• Умножим на 2:
• \[ 20 \le \pi (1 + 4n) < 26 \]
• Разделим на $$\pi$$:
• \[ \frac{20}{\pi} \le 1 + 4n < \frac{26}{\pi} \]
• \[ 6.36 \le 1 + 4n < 8.28 \]
• Вычтем 1:
• \[ 5.36 \le 4n < 7.28 \]
• Разделим на 4:
• \[ 1.34 \le n < 1.82 \]
• Единственное целое число $$n$$ в этом интервале — это $$n=1$$.
• Подставляем $$n=1$$ в формулу корней:
  \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \]
• Проверим, попадает ли $$\frac{5\pi}{2}$$ в отрезок: $$\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.14159}{2} = \frac{15.70795}{2} = 7.853975$$. Это значение НЕ находится в интервале $$[10; 13)$$.

Ответ:

• а) $$x = \pi k$$ и $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, где $$k, n$$ — целые числа.
• б) $$x = 4\pi$$