13. Тип 13 № 103 а) Решите уравнение sin²x-sinx=2. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 3π 7π 4'4

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Решение уравнения:

• Введем замену: Пусть $$y = ext{sinx}$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - y - 2 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$(y-2)(y+1) = 0$$.
• Получаем два возможных значения для $$y$$: $$y_1 = 2$$ и $$y_2 = -1$$.
• Возвращаемся к замене: $$ ext{sinx} = 2$$ или $$ ext{sinx} = -1$$.
• Уравнение $$ ext{sinx} = 2$$ не имеет решений, так как область значений синуса $$[-1, 1]$$.
• Решаем уравнение $$ ext{sinx} = -1$$. Общий вид решений: $$x = -rac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k ext{ extemdash} ext{целое число}$$.

б) Нахождение корней, принадлежащих промежутку [3π/4, 7π/4]:

• Подставим значения $$k$$:
• При $$k = 0$$: $$x = -rac{\pi}{2}$$. Это значение не входит в промежуток.
• При $$k = 1$$: $$x = -rac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$$.
• Проверим, входит ли $$\frac{3\pi}{2}$$ в промежуток $$[\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$$.
• $$rac{3\pi}{4} = 0.75\pi$$, $$rac{3\pi}{2} = 1.5\pi$$, $$rac{7\pi}{4} = 1.75\pi$$.
• Так как $$0.75\pi \le 1.5\pi \le 1.75\pi$$, то $$x = \frac{3\pi}{2}$$ принадлежит заданному промежутку.
• При $$k = 2$$: $$x = -rac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$$. Это значение не входит в промежуток.

Ответ:

а) $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k ext{ extemdash} ext{целое число}$$.

б) $$\frac{3\pi}{2}$$