13. Тип 13 № 501689 i а) Решите уравнение 15^cosx = 3^cosx · 5^sinx б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π, 13π/2].

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение, разделив обе части на \( 3^{\cos x} \) (учтем, что \( 3^{\cos x} ≠ 0 \)):
   \( \frac{15^{\cos x}}{3^{\cos x}} = 5^{\sin x} \)
   \( (\frac{15}{3})^{\cos x} = 5^{\sin x} \)
   \( 5^{\cos x} = 5^{\sin x} \)
2. Шаг 2: Приравняем показатели степени, так как основания равны:
   \( \cos x = \sin x \)
3. Шаг 3: Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (учтем, что \( \cos x ≠ 0 \), так как если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = ± 1 \), что не удовлетворяет \( \cos x = \sin x \)):
   \( 1 = \frac{\sin x}{\cos x} \)
   \( \tan x = 1 \)
4. Шаг 4: Найдем общие решения уравнения \( \tan x = 1 \).
   \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π, 13π/2].

1. Шаг 1: Подставим найденные решения в условие принадлежности отрезку:
   \( 5π ≤  \frac{π}{4} + π n ≤  \frac{13π}{2} \)
2. Шаг 2: Разделим все части неравенства на \( π \):
   \( 5 ≤  \frac{1}{4} + n ≤  \frac{13}{2} \)
3. Шаг 3: Вычтем \( \frac{1}{4} \) из всех частей неравенства:
   \( 5 - \frac{1}{4} ≤ n ≤  \frac{13}{2} - \frac{1}{4} \)
   \( \frac{20-1}{4} ≤ n ≤  \frac{26-1}{4} \)
   \( \frac{19}{4} ≤ n ≤  \frac{25}{4} \)
4. Шаг 4: Переведем дроби в десятичный вид:
   \( 4.75 ≤ n ≤ 6.25 \)
5. Шаг 5: Так как \( n \) — целое число, возможные значения \( n \) равны 5 и 6.
6. Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( x \) при \( n=5 \) и \( n=6 \).
   При \( n=5 \): \( x =  \frac{π}{4} + 5π =  \frac{π + 20π}{4} =  \frac{21π}{4} \).
   При \( n=6 \): \( x =  \frac{π}{4} + 6π =  \frac{π + 24π}{4} =  \frac{25π}{4} \).

Ответ: а) \( x =  \frac{π}{4} + π n \), где \( n ∈ ℤ \); б) \(  \frac{21π}{4} \), \(  \frac{25π}{4} \)