13. Тип 15 № 352713 В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 104, HC = 26 и ∠ACB = 75°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике BHC: $$BH = HC \times \tan(75^°) = 26 \times (2 + \sqrt{3}) \approx 97.17$$.
$$AH = AC - HC = 104 - 26 = 78$$.
В прямоугольном треугольнике AHB: $$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 78^2 + (26(2+\sqrt{3}))^2 \approx 6084 + 9439 = 15523$$. $$AB \approx 124.59$$.
Так как BM - медиана, $$AM = MC = AC/2 = 104/2 = 52$$.
В треугольнике BHC: $$BC = HC / \cos(75^°) = 26 / (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) \approx 100.5$$.
В треугольнике ABM: по теореме косинусов: $$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \times AM \times BM \times \cos(\angle AMB)$$.
В треугольнике BCM: $$BM^2 = MC^2 + BC^2 - 2 \times MC \times BC \times \cos(75^°)$$.
$$BM^2 = 52^2 + 100.5^2 - 2 \times 52 \times 100.5 \times \cos(75^°) \approx 2704 + 10100 - 10410 \times 0.2588 \approx 12804 - 2691 = 10113$$. $$BM \approx 100.56$$.
В треугольнике ABM: $$124.59^2 = 52^2 + 100.56^2 - 2 \times 52 \times 100.56 \times \cos(\angle AMB)$$.
$$15523 = 2704 + 10113 - 10458 \times \cos(\angle AMB)$$.
$$15523 = 12817 - 10458 \times \cos(\angle AMB)$$.
$$2706 = -10458 \times \cos(\angle AMB)$$.
$$\cos(\angle AMB) = -2706 / 10458 \approx -0.2587$$.
$$\angle AMB = \arccos(-0.2587) \approx 105^°$$.