13. Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что LABC = 61° и L OAB = 8°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• О — центр окружности.
• Точки А, В, С лежат на окружности.
• ∠ABC = 61°.
• ∠OAB = 8°.

Найти: ∠BCO.

Решение:

1. ∠AOB — центральный угол, опирающийся на дугу АВ. ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу АВ. Связь между ними: ∠AOB = 2 * ∠ACB.
2. В треугольнике АОВ стороны ОА и ОВ являются радиусами окружности, поэтому треугольник АОВ — равнобедренный. Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 8°.
3. Сумма углов в треугольнике АОВ равна 180°. Найдем ∠AOB: ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (8° + 8°) = 180° - 16° = 164°.
4. Теперь найдем ∠ACB: ∠ACB = ∠AOB / 2 = 164° / 2 = 82°.
5. ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС. ∠AOC — центральный угол, опирающийся на дугу АС. Связь: ∠AOC = 2 * ∠ABC.
6. ∠AOC = 2 * 61° = 122°.
7. В треугольнике BOC стороны OB и OC являются радиусами окружности, поэтому треугольник BOC — равнобедренный. Следовательно, ∠OBC = ∠OCB.
8. Сумма углов в треугольнике BOC равна 180°. Мы знаем, что ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC.
9. Отсюда, ∠OBC = ∠ABC - ∠OBA = 61° - 8° = 53°.
10. Так как треугольник BOC равнобедренный, то ∠OCB = ∠OBC = 53°.

Проверка:

Угол ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (53° + 53°) = 180° - 106° = 74°.

Сумма центральных углов ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 164° + 74° + 122° = 360°. Это соответствует полному обороту.

Ответ: 53°