13. У сборщика десять деталей, среди которых шесть стандартных и четыре нестандартных. Он наугад берет три детали. Составить ряд распределения числа стандартных деталей среди трех отобранных. Найти M(X) и D(X) этой случайной величины.

Решение:

Пусть X — случайная величина, равная числу стандартных деталей среди трех отобранных.

Общее число деталей: $$N = 10$$.

Число стандартных деталей: $$K = 6$$.

Число нестандартных деталей: $$N-K = 4$$.

Число отобранных деталей: $$n = 3$$.

Возможные значения случайной величины X:

• $$x_1 = 0$$: 0 стандартных, 3 нестандартных.
• $$x_2 = 1$$: 1 стандартная, 2 нестандартных.
• $$x_3 = 2$$: 2 стандартных, 1 нестандартная.
• $$x_4 = 3$$: 3 стандартных, 0 нестандартных.

Вероятность каждого значения находится по формуле гипергеометрического распределения:

$$ P(X=k) = \frac{C_K^k · C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $$

• $$P(X=0) = \frac{C_6^0 · C_4^3}{C_{10}^3} = \frac{1 · 4}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$$
• $$P(X=1) = \frac{C_6^1 · C_4^2}{C_{10}^3} = \frac{6 · 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$$
• $$P(X=2) = \frac{C_6^2 · C_4^1}{C_{10}^3} = \frac{15 · 4}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$
• $$P(X=3) = \frac{C_6^3 · C_4^0}{C_{10}^3} = \frac{20 · 1}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$$

Проверка суммы вероятностей: $$\frac{1}{30} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1 + 9 + 15 + 5}{30} = \frac{30}{30} = 1$$.

Ряд распределения случайной величины X:

Нахождение математического ожидания M(X):

$$ M(X) = ∑_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) $$

$$ M(X) = 0 · \frac{1}{30} + 1 · \frac{3}{10} + 2 · \frac{1}{2} + 3 · \frac{1}{6} $$

$$ M(X) = 0 + \frac{3}{10} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3 + 10 + 5}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 $$

Нахождение дисперсии D(X):

Сначала найдем $$M(X^2)$$:

$$ M(X^2) = ∑_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i) $$

$$ M(X^2) = 0^2 · \frac{1}{30} + 1^2 · \frac{3}{10} + 2^2 · \frac{1}{2} + 3^2 · \frac{1}{6} $$

$$ M(X^2) = 0 + 1 · \frac{3}{10} + 4 · \frac{1}{2} + 9 · \frac{1}{6} $$

$$ M(X^2) = \frac{3}{10} + 2 + \frac{3}{2} = \frac{3 + 20 + 15}{10} = \frac{38}{10} = 3.8 $$

Формула дисперсии:

$$ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 $$

$$ D(X) = 3.8 - (1.8)^2 $$

$$ D(X) = 3.8 - 3.24 = 0.56 $$

Ответ:

• Ряд распределения:
• $$P(X=0) = 1/30$$
• $$P(X=1) = 3/10$$
• $$P(X=2) = 1/2$$
• $$P(X=3) = 1/6$$
• $$M(X) = 1.8$$
• $$D(X) = 0.56$$