13. Учащимся было предложено упростить алгебраическое выражение: \(\left(\frac{4a^3+12}{a^2-4}-4a+3\right):\frac{a^2+4a+4}{4a}\). Барно последовательно выполнила действия, указанные в таблице, чтобы упростить выражение. Проанализируйте выполненные действия.

Проверим преобразования по порядку. В исходном выражении деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

Шаг 1. Запись \(\frac{4a^3+12}{a^2-4}-4a\) сама по себе верна как часть выражения, но в таблице потеряно слагаемое \(+3\) и не показано деление на вторую дробь. Поэтому шаг не сохраняет исходное выражение.

Шаг 2. Замена \(-4a\) на \(-\frac{4a}{1}\) верна, однако это не исправляет пропуск слагаемого \(+3\) и деления на дробь.

Шаг 3. Объединять слагаемые в одну дробь можно, если привести их к общему знаменателю. Но числитель записан неверно: для \(-4a+3\) при знаменателе \(a^2-4\) должно быть \((-4a+3)(a^2-4)\), а не \(-(4a-3)\). Кроме того, в следующей строке неверно раскрыты скобки.

Шаг 4. Преобразование не следует из предыдущей строки, следовательно, шаг неверен.

Шаг 5. Разложение \(a^2-4=(a-2)(a+2)\) верно, но оно не делает правильными предыдущие преобразования; в видимой части шага результат также обрезан.

Упростим исходное выражение правильно:

Разложим на множители:

\(4a^3+12=4(a^3+3)\), \(a^2-4=(a-2)(a+2)\), \(a^2+4a+4=(a+2)^2\).

Сначала объединим выражение в скобках:

\(\frac{4a^3+12}{a^2-4}-4a+3=\frac{4a^3+12+(-4a+3)(a^2-4)}{a^2-4}\).

Раскроем скобки в числителе:

\(4a^3+12-4a^3+3a^2+16a-12=3a^2+16a=a(3a+16)\).

Тогда

\(\left(\frac{4a^3+12}{a^2-4}-4a+3\right):\frac{a^2+4a+4}{4a}=\frac{a(3a+16)}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{4a}{(a+2)^2}=\frac{4a^2(3a+16)}{(a-2)(a+2)^3}\).

Ограничения исходного выражения: \(a\ne -2, 2, 0\). Значение \(a=0\) исключается, поскольку делитель равен нулю.

Ответ: шаги Барно содержат ошибки и не сохраняют исходное выражение. Правильное упрощение: \(\frac{4a^2(3a+16)}{(a-2)(a+2)^3}\), где \(a\ne -2, 0, 2\).