13. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) $$x^2-3x-11<0$$ 2) $$x^2-3x+11<0$$ 3) $$x^2-3x+11>0$$ 4) $$x^2-3x-11>0$$

Решение:

Чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$. Если дискриминант отрицательный, то парабола не пересекает ось x, и неравенство вида $$ax^2+bx+c > 0$$ или $$ax^2+bx+c < 0$$ может не иметь решений (в зависимости от направления ветвей параболы).

1. Неравенство 1: $$x^2-3x-11<0$$
• Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4(1)(-11) = 9 + 44 = 53 > 0$$.
• Уравнение имеет два корня, значит, неравенство имеет решения.
2. Неравенство 2: $$x^2-3x+11<0$$
• Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4(1)(11) = 9 - 44 = -35 < 0$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ (равный 1) положительный, ветви параболы направлены вверх. Поскольку дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось x и находится полностью выше оси x. Следовательно, $$x^2-3x+11$$ всегда больше 0. Поэтому неравенство $$x^2-3x+11<0$$ решений не имеет.
3. Неравенство 3: $$x^2-3x+11>0$$
• Дискриминант $$D = -35 < 0$$.
• Ветви параболы направлены вверх. Поскольку парабола всегда выше оси x, данное неравенство имеет решения (все действительные числа).
4. Неравенство 4: $$x^2-3x-11>0$$
• Дискриминант $$D = 53 > 0$$.
• Уравнение имеет два корня, значит, неравенство имеет решения.

Ответ: 2) $$x^2-3x+11<0$$