13. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) x² - 31 < 0 2) x² + 31 > 0 3) x² - 31 > 0 4) x² +31 < 0

Решение:

Чтобы неравенство не имело решений, нужно, чтобы его левая часть всегда была больше или равна нулю (для неравенства вида \( x^2 + c > 0 \) или \( x^2 + c \ge 0 \), где \( c > 0 \)) или всегда была меньше или равна нулю (для неравенства вида \( x^2 + c < 0 \) или \( x^2 + c \le 0 \), где \( c > 0 \)).

Рассмотрим каждый вариант:

1. \( x^2 - 31 < 0 \). Это неравенство имеет решения, например \( x = 0 \), тогда \( 0 - 31 < 0 \), что верно.
2. \( x^2 + 31 > 0 \). Квадрат любого действительного числа \( x^2 \) неотрицателен, то есть \( x^2 \ge 0 \). Следовательно, \( x^2 + 31 \ge 31 \). Таким образом, \( x^2 + 31 \) всегда больше нуля. Это неравенство имеет решения для всех \( x \in \mathbb{R} \).
3. \( x^2 - 31 > 0 \). Это неравенство имеет решения, например \( x = 6 \), тогда \( 36 - 31 > 0 \), что верно.
4. \( x^2 + 31 < 0 \). Как мы уже установили, \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \). Следовательно, \( x^2 + 31 \ge 31 \). Таким образом, \( x^2 + 31 \) никогда не может быть меньше нуля. Это неравенство не имеет решений.

Ответ: 4