13. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) x²-3x-11 < 0 2) x² - 3x + 11 < 0 3) x²-3x+11>0 4) x²-3x-11>0

Задание 13. Неравенство без решений

Привет! Давай разберемся, какое из этих неравенств не имеет решений. Для этого нам нужно посмотреть на дискриминант каждого квадратного трехчлена. Дискриминант поможет нам понять, сколько корней у уравнения, а это, в свою очередь, подскажет, как ведет себя парабола и есть ли у неравенства решения.

1) \( x^2 - 3x - 11 < 0 \)

Здесь \( a=1, b=-3, c=-11 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 9 + 44 = 53 \). Поскольку \( D > 0 \), у уравнения \( x^2 - 3x - 11 = 0 \) есть два корня. Парабола пересекает ось x, значит, есть значения \( x \), при которых \( x^2 - 3x - 11 < 0 \).

2) \( x^2 - 3x + 11 < 0 \)

Здесь \( a=1, b=-3, c=11 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \). Поскольку \( D < 0 \), у уравнения \( x^2 - 3x + 11 = 0 \) нет действительных корней. А так как ветви параболы направлены вверх ( \( a=1 > 0 \) ), то вся парабола находится выше оси x. Это значит, что \( x^2 - 3x + 11 \) всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( x^2 - 3x + 11 < 0 \) не имеет решений.

3) \( x^2 - 3x + 11 > 0 \)

Мы уже выяснили, что дискриминант \( D = -35 < 0 \) и ветви параболы направлены вверх. Это значит, что \( x^2 - 3x + 11 \) всегда больше нуля для любого \( x \). Так что это неравенство имеет решения (все действительные числа).

4) \( x^2 - 3x - 11 > 0 \)

Здесь \( D = 53 > 0 \), есть два корня. Парабола пересекает ось x. Следовательно, есть значения \( x \), при которых \( x^2 - 3x - 11 > 0 \).

Ответ: 2