13. Укажите решение неравенства 81x² ≤ 16

Решение:

Решим неравенство \( 81x^2 \le 16 \).

1. Перенесём 16 в левую часть: \( 81x^2 - 16 \le 0 \).
2. Разложим левую часть как разность квадратов: \( (9x)^2 - 4^2 \le 0 \) → \( (9x - 4)(9x + 4) \le 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( (9x - 4)(9x + 4) = 0 \): \( 9x - 4 = 0 \) → \( x = \frac{4}{9} \) и \( 9x + 4 = 0 \) → \( x = -\frac{4}{9} \).
4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -\frac{4}{9}] \), \( [-\frac{4}{9}; \frac{4}{9}] \) и \( [\frac{4}{9}; +\infty) \).
5. Проверим знаки выражения \( (9x - 4)(9x + 4) \) в каждом интервале:
   • При \( x < -\frac{4}{9} \) (например, \( x = -1 \)): \( (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-13)(-5) = 65 > 0 \).
   • При \( -\frac{4}{9} < x < \frac{4}{9} \) (например, \( x = 0 \)): \( (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) = -16 \le 0 \).
   • При \( x > \frac{4}{9} \) (например, \( x = 1 \)): \( (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) = 65 > 0 \).
6. Неравенство \( (9x - 4)(9x + 4) \le 0 \) выполняется при \( -\frac{4}{9} \le x \le \frac{4}{9} \).

Это соответствует варианту 2.

Ответ: 2.