13. Упростите выражения: а) $\frac{4a}{4a^2-12ab+9b^2}+\frac{2a+3b}{3ab-2a^2}$; б) $\frac{m+n}{m^2-mn}-\frac{m}{n^2-2nm+m^2}$.

Question

$Фото задания: 13. Упростите выражения: а) $\frac{4a}{4a^2-12ab+9b^2}+\frac{2a+3b}{3ab-2a^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим знаменатели на множители: $4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2$, а $3ab-2a^2=-a(2a-3b)$.

Приведём дроби к общему знаменателю $a(2a-3b)^2$:

\[\frac{4a}{(2a-3b)^2}-\frac{2a+3b}{a(2a-3b)}=\frac{4a^2-(2a+3b)(2a-3b)}{a(2a-3b)^2}=\frac{9b^2}{a(2a-3b)^2}.\]

Здесь использовано равенство $(2a+3b)(2a-3b)=4a^2-9b^2$. Ограничения: $a\ne0$, $2a-3b\ne0$.

б)

Разложим знаменатели: $m^2-mn=m(m-n)$, $n^2-2nm+m^2=(m-n)^2$.

Приведём дроби к общему знаменателю $m(m-n)^2$:

\[\frac{m+n}{m(m-n)}-\frac{m}{(m-n)^2}=\frac{(m+n)(m-n)-m^2}{m(m-n)^2}=\frac{-n^2}{m(m-n)^2}.\]

Ограничения: $m\ne0$, $m\ne n$.

Ответ: а) $\frac{9b^2}{a(2a-3b)^2}$; б) $-\frac{n^2}{m(m-n)^2}$.

13. Упростите выражения: а) \(\frac{4a}{4a^2-12ab+9b^2}+\frac{2a+3b}{3ab-2a^2}\); б) \(\frac{m+n}{m^2-mn}-\frac{m}{n^2-2nm+m^2}\).