13. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей; выплаты в 2030 и 2031 годах равны; к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Все суммы ниже указаны в тысячах рублей. После начисления 10% в январе 2027 года долг становится \(1050\cdot1.1=1155\). Чтобы к июлю 2027 года он снова составил 1050, первая выплата равна \(1155-1050=105\).

В июле 2028 и 2029 годов долг также остаётся равным 1050, поэтому выплата каждого из этих годов равна 105 тыс. рублей.

В январе 2030 года долг снова возрастает до 1155. Обозначим равные выплаты 2030 и 2031 годов через \(x\). После выплаты в 2030 году долг равен \(1155-x\); после начисления 10% в январе 2031 года и окончательного погашения:

\(1.1(1155-x)-x=0\).

\(1270.5-2.1x=0\), поэтому \(x=605\) тыс. рублей.

Разность последней и первой выплат: \(605-105=500\) тыс. рублей, то есть 500 000 рублей.

Ответ: 500 000 рублей.