13. В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть сумма кредита равна \(S\) рублей, а каждый из трёх равных платежей — \(P\) рублей. После начисления процентов и платежей остаток долга равен нулю.

Первый платёж вносится после первого начисления процентов, второй — после следующего начисления, третий — после третьего:

\(1.1^3S-(1.1^2+1.1+1)P=0\).

Следовательно, \(P=\dfrac{1.331S}{3.31}\). По условию \(3P-S=40\,980\), поэтому

\(\left(\dfrac{3\cdot1.331}{3.31}-1\right)S=40\,980\),
\(\dfrac{0.683}{3.31}S=40\,980\),
\(S=40\,980\cdot\dfrac{3.31}{0.683}=198\,600\).

Ответ: 198 600 рублей.