13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC на отрезки BK = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите длину стороны DC.

Давай разберемся с этим прямоугольником шаг за шагом:

1. Свойства прямоугольника: В прямоугольнике противоположные стороны равны (AB = DC, BC = AD) и все углы прямые (90°).
2. Биссектриса угла D: Биссектриса делит угол пополам. В нашем случае, угол D = 90°, значит, биссектриса делит его на два угла по 45°.
3. Пересечение биссектрисы со стороной BC: Биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке K. Мы знаем, что BK = 6 см.
4. Образуется треугольник DCK: Угол C = 90°, угол CDК = 45° (половина угла D). Сумма углов в треугольнике = 180°, значит, угол DKC = 180° - 90° - 45° = 45°.
5. Треугольник DCK — равнобедренный: Так как углы DKC и CDK равны 45°, то стороны, лежащие напротив этих углов, тоже равны. Следовательно, DC = CK.
6. Длина стороны BC: Мы знаем, что BC = BK + CK. Так как DC = CK, то BC = BK + DC.
7. Периметр прямоугольника: Периметр = 2 * (DC + BC).
8. Подставляем известные значения:
• 48 = 2 * (DC + BC)
• 24 = DC + BC
• Теперь подставим BC = BK + DC = 6 + DC
• 24 = DC + (6 + DC)
• 24 = 2 * DC + 6
• 2 * DC = 24 - 6
• 2 * DC = 18
• DC = 18 / 2 = 9 см.

Ответ: 9 см