13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC на отрезки BK и CK. Найдите длину стороны DC, если BK = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

Решение:

Пусть \( \cdot D = \cdot C = 90^\cdot \).

1. Биссектриса угла D делит его пополам, то есть \( \cdot KDC = \cdot BCD = 45^\cdot \).
2. В треугольнике \( \cdot KDC \) угол \( \cdot KCD = 90^\cdot \), угол \( \cdot KDC = 45^\cdot \), значит, угол \( \cdot C K D = 180^\cdot - 90^\cdot - 45^\cdot = 45^\cdot \).
3. Треугольник \( \cdot KDC \) — равнобедренный, значит, \( DK = CK \).
4. Сторона \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
5. Периметр прямоугольника \( P = 2(AB + BC) = 48 \) см. \( AB + BC = 24 \) см.
6. \( CD = AB \), \( BC = BK + CK = 6 + CK \).
7. \( AB + 6 + CK = 24 \). \( AB = 18 - CK \).
8. Так как \( AB = CD \) и \( DK = CK \), то \( CD = 18 - DK \).
9. В прямоугольнике \( ABCD \) \( BC \) параллельна \( AD \). Биссектриса \( DK \) делит \( BC \) на \( BK \) и \( CK \).
10. В прямоугольнике \( ABCD \), \( \cdot D = 90^\cdot \). Биссектриса \( DK \) делит \( \cdot D \) на два угла по \( 45^\cdot \).
11. Рассмотрим \(\cdot\) KDC: \( \cdot C = 90^\cdot \), \( \cdot KDC = 45^\cdot \), тогда \( \cdot DKC = 45^\cdot \). Это равнобедренный прямоугольный треугольник. \( CK = CD \).
12. Но \( CD = AB \). Значит, \( CK = AB \).
13. \( BC = BK + CK = 6 + AB \).
14. Периметр: \( 2(AB + BC) = 48 \). \( AB + BC = 24 \). \( AB + (6 + AB) = 24 \). \( 2AB + 6 = 24 \). \( 2AB = 18 \). \( AB = 9 \).
15. Так как \( CD = AB \), то \( CD = 9 \) см.

Ответ: 9 см.