13. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен \( 90^\circ \) (прямой), два других — острые. Сумма острых углов равна \( 90^\circ \).

Внешний угол треугольника равен сумме двух других его внутренних углов. Внешний угол при вершине прямого угла равен сумме двух острых углов, то есть \( 90^\circ \).

Пусть острые углы треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Внешние углы при вершинах острых углов равны \( 180^\circ - \alpha \) и \( 180^\circ - \beta \).

Наибольший внешний угол — это внешний угол при наименьшем остром угле. Наименьший внешний угол — это внешний угол при наибольшем остром угле.

Пусть \( \alpha \) — меньший острый угол, а \( \beta \) — больший острый угол. Тогда \( \alpha < \beta \).

Наибольший внутренний угол — это \( 90^\circ \). Его внешний угол равен \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Наибольший внешний угол равен \( 180^\circ - \alpha \) (при наименьшем остром угле \( \alpha \)).

Наименьший внешний угол равен \( 180^\circ - \beta \) (при наибольшем остром угле \( \beta \)).

По условию, наибольший и наименьший внешние углы относятся как 8:5. Наибольшим внешним углом является тот, который соответствует наименьшему острому углу. Наименьшим внешним углом является тот, который соответствует наибольшему острому углу.

\( (180^\circ - \alpha) : (180^\circ - \beta) = 8:5 \)

Подставим \( \beta = 90^\circ - \alpha \):

\( (180^\circ - \alpha) : (180^\circ - (90^\circ - \alpha)) = 8:5 \)

\( (180^\circ - \alpha) : (90^\circ + \alpha) = 8:5 \)

\( 5(180^\circ - \alpha) = 8(90^\circ + \alpha) \)

\( 900^\circ - 5\alpha = 720^\circ + 8\alpha \)

\( 900^\circ - 720^\circ = 8\alpha + 5\alpha \)

\( 180^\circ = 13\alpha \)

\( \alpha = \frac{180^\circ}{13} \)

\( \alpha \approx 13.85^\circ \)

\( \beta = 90^\circ - \frac{180^\circ}{13} = \frac{1170^\circ - 180^\circ}{13} = \frac{990^\circ}{13} \)

\( \beta \approx 76.15^\circ \)

Наименьший острый угол — \( \alpha \).

Ответ: \( \frac{180}{13} \)°.