13. В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом М проведена высота МН, известно что MN в два раза больше МН. Найди угол НМК.

В прямоугольном треугольнике MNK угол M = 90 градусов. MH — высота, проведенная из вершины M к гипотенузе NK.

По условию задачи, MN = 2 * MH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. В нем MH — высота, проведенная к гипотенузе. Это значит, что треугольники MNK, MHN и MKH подобны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MHN. Угол MHN = 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике MHN, синус угла N равен отношению противолежащего катета (MH) к гипотенузе (MN):

\[ \sin(N) = \frac{MH}{MN} \]

Подставим известное соотношение MN = 2 * MH:

\[ \sin(N) = \frac{MH}{2 \cdot MH} \]

\[ \sin(N) = \frac{1}{2} \]

Из этого следует, что угол N = 30 градусов.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Так как угол M = 90 градусов, то сумма углов N и K равна 90 градусов:

\[ N + K = 90^° \]

Мы знаем, что N = 30 градусов, следовательно:

\[ 30^° + K = 90^° \]

\[ K = 90^° - 30^° \]

\[ K = 60^° \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MHN. Угол MHN = 90 градусов, угол N = 30 градусов. Угол NMH равен:

\[ ∠ NMH = 180^° - 90^° - 30^° = 60^° \]

В прямоугольном треугольнике MKH, угол MHK равен:

\[ ∠ MHK = 180^° - 90^° - K = 180^° - 90^° - 60^° = 30^° \]

Нас просят найти угол HMK. Угол HMK является частью угла MNK, который равен 90 градусам. Также угол HMK является углом в прямоугольном треугольнике MKH.

В прямоугольном треугольнике MKH, у нас есть:

• Угол MHK = 30 градусов.
• Угол MKH = 60 градусов.
• Угол HMK = 90 - 60 = 30 градусов.

Либо, как часть прямого угла M:

\[ ∠ HMK = ∠ MNK - ∠ NMH \]

\[ ∠ HMK = 90^° - 60^° = 30^° \]

Ответ: 30